Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}0$ durch ${}1$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit ${}G$ als ${}-1$. Wir halbieren die Strecke zwischen ${}-1$ und ${}a$ gemäß Fakt und erhalten den konstruierbaren Punkt ${}M={\frac {a-1}{2}}\in G$. Der Abstand von ${}M$ zu ${}a$ als auch zu ${}-1$ ist dann ${}{\frac {a+1}{2}}$. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ und Radius ${}{\frac {a+1}{2}}$ und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu ${}G$ senkrechten Geraden ${}H$ durch ${}0$ als ${}x$. Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken ${}0,x,M$ an. Daraus ergibt sich

${}x^{2}={\left({\frac {a+1}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-1}{2}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}+2a+1-(a^{2}-2a+1)}{4}}={\frac {4a}{4}}=a\,.$

Also repräsentiert (der Abstand von ${}0$ zu) ${}x$ die Quadratwurzel aus ${}a$.

Zur bewiesenen Aussage