Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt $0$ durch $1$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit $G$ als $-1$. Wir halbieren die Strecke zwischen $-1$ und $a$ gemäß Fakt und erhalten den konstruierbaren Punkt  $M=\frac{a-1}{2}\in G$.  Der Abstand von $M$ zu $a$ als auch zu $-1$ ist dann $\frac{a+1}{2}$. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $\frac{a+1}{2}$ und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu $G$ senkrechten Geraden $H$ durch $0$ als $x$. Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken $0,x,M$ an. Daraus ergibt sich

$x^2={\left(\frac{a+1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2=\frac{a^2+2a+1-(a^2-2a+1)}{4}=\frac{4a}{4}=a.$

Also repräsentiert (der Abstand von $0$ zu) $x$ die Quadratwurzel aus $a$.

Zur bewiesenen Aussage