Zwei Mengen/Mächtigkeitsbeziehung/Injektiv und Surjektiv/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Wenn ${}N$ leer ist, so kann man die leere Abbildung ${}\emptyset \rightarrow M$ nehmen. Sei also ${}N\neq \emptyset$ und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

surjektiv. Zu jedem ${}y\in N$ gibt es ein ${}x\in M$ mit ${}\varphi (x)=y$. Wir wählen für jedes ${}y$ ein solches ${}x_{y}$ aus und definieren ${}\psi$ durch

$\psi \colon N\longrightarrow M,\,y\longmapsto \psi (y)=x_{y}.$

Wegen ${}\varphi (\psi (y))=y$ ist ${}\psi$ injektiv.

${}(2)\Rightarrow (1)$. Sei nun eine injektive Abbildung

$\psi \colon N\longrightarrow M$

gegeben. Diese induziert eine Bijektion zwischen ${}N$ und dem Bild von ${}\psi$, sei ${}\theta \colon N\rightarrow \operatorname {bild} \psi$ diese Abbildung. Wenn ${}N$ leer ist, so sind wir fertig. Sei also ${}N\neq \emptyset$ und sei ${}c\in N$ ein fixiertes Element. Wir definieren

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

durch

$\varphi (x)={\begin{cases}\theta ^{-1}(x),\,{\text{ falls }}x\in \operatorname {bild} \psi \,,\\c{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Diese Abbildung ist wegen ${}\varphi (\theta (y))=y$ surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage