Zwei Mengen/Mächtigkeitsbeziehung/Injektiv und Surjektiv/Fakt/Beweis

Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Wenn $N$ leer ist, so kann man die leere Abbildung $\mathrm{\varnothing }\to M$ nehmen. Es sei also  $N\ne \mathrm{\varnothing }$  und sei

$\phi :M⟶N$

surjektiv. Zu jedem  $y\in N$  gibt es ein  $x\in M$  mit  $\phi (x)=y$.  Wir wählen für jedes $y$ ein solches $x_y$ aus und definieren $\psi$ durch

$\psi :N⟶M,y⟼\psi (y)=x_y.$

Wegen  $\phi (\psi (y))=y$  ist $\psi$ injektiv.

$(2)\Rightarrow (1)$. Es sei nun eine injektive Abbildung

$\psi :N⟶M$

gegeben. Diese induziert eine Bijektion zwischen $N$ und dem Bild von $\psi$, sei $\theta :N\to \mathrm{bild}\psi$ diese Abbildung. Wenn $N$ leer ist, so sind wir fertig. Es sei also  $N\ne \mathrm{\varnothing }$  und sei  $c\in N$  ein fixiertes Element. Wir definieren

$\phi :M⟶N$

durch

$\phi (x)=\{\begin{array}{c}{\theta }^{-1}(x),\text{ falls }x\in \mathrm{bild}\psi ,\\ c\text{ sonst}.\end{array}$

Diese Abbildung ist wegen  $\phi (\theta (y))=y$  surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage