Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Gültigkeiten in N/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei $\alpha (x)$ das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei $q$ ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

$\Gamma ⊢\mathrm{\neg }\alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$

Zu einem beliebigen Ausdruck $p$ betrachten wir $\mathrm{\neg }\alpha (GN(p\wedge \mathrm{\neg }p))$. Welche der Ausdrücke

$\mathrm{\neg }\alpha (GN(p\wedge \mathrm{\neg }p)),\mathrm{\neg }\alpha (GN(q)),\mathrm{\neg }\alpha (GN(p\wedge \mathrm{\neg }p))\to \mathrm{\neg }\alpha (GN(q))$

gelten in $\mathbb{N}$?

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