Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/3/Verfahren

Es seien $a \leq b$ reelle Zahlen und sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion mit $f (a) \leq 0$ und $f (b) \geq 0$ . Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man wie im Beweis des Zwischenwertsatzes beschrieben durch eine Intervallhalbierung $[a_{n}, b_{n}]$ finden. Dabei setzt man $a_{0} = a$ und $b_{0} = b$ , die weiteren Intervallgrenzen werden induktiv derart definiert, dass $f (a_{n}) \leq 0$ und $f (b_{n}) \geq 0$ gilt. Man setzt $x_{n} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ und berechnet $f (x_{n})$ . Bei $f (x_{n}) \leq 0$ setzt man

a_{n + 1} := x_{n} und b_{n + 1} := b_{n}

und bei $f (x_{n}) > 0$ setzt man

a_{n + 1} := a_{n} und b_{n + 1} := x_{n} .

In jedem Fall hat das neue Intervall $[a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ die halbe Länge des Vorgängerintervalls und es liegt eine Intervallhalbierung vor. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl $x$ ist eine Nullstelle der Funktion.