Zwischenwertsatz/Q/x^2-2/Beispiel

Die Abbildung

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für  ${}x=0$  ist  ${}f(0)=-2<0$  und für  ${}x=2$  ist  ${}f(2)=2>0$,  es gibt aber kein  ${}x\in \mathbb {Q}$  mit  ${}f(x)=0$,  da dafür  ${}x^{2}=2$  sein muss, wofür es in ${}\mathbb {Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.