Zwischenwertsatz/Q/x^2-2/Beispiel

Die Abbildung

$f:\mathbb{Q}⟶\mathbb{Q},x⟼x^2-2,$

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für  $x=0$  ist  $f(0)=-2<0$  und für  $x=2$  ist  $f(2)=2>0$,  es gibt aber kein  $x\in \mathbb{Q}$  mit  $f(x)=0$,  da dafür  $x^2=2$  sein muss, wofür es in $\mathbb{Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.