Zwischenwertsatz/Reell-algebraische Zahlen/Bemerkung

Unter den reellen Zahlen sind manche von den ganzen oder rationalen Zahlen her besser erfassbar als andere. Die rationalen Zahlen sind als Brüche mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner erfassbar, und man kann sie als Lösungen von Gleichungen der Form ${}bx=a$ mit ganzzahligen Koeffizienten auffassen. Die Quadratwurzel ${}{\sqrt {2}}$ ist eine irrationale Zahl, die aber die Gleichung ${}x^{2}=2$ erfüllt, welche über den ganzen Zahlen formulierbar ist. Dies gilt für alle Zahlen der Form ${}{\sqrt[{k}]{n}}$ mit ${}k,n\in \mathbb {N} _{+}$, sie lösen die Gleichung ${}x^{k}=n$ bzw. sie sind eine Nullstelle des ganzzahligen Polynoms ${}x^{k}-n$. Auch Wurzeln aus rationalen Zahlen kann man als eine Nullstelle eines ganzzahligen (wo alle Koeffizienten zu ${}\mathbb {Z}$ gehören) Polynoms ansehen. Es ist nämlich ${}{\sqrt[{k}]{\frac {a}{b}}}$ eine Nullstelle von ${}bx^{k}-a$. Man kann nun die Teilmenge der reellen Zahlen

${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }={\left\{x\in \mathbb {R} \mid {\text{ Es gibt ein ganzzahliges Polynom }}P{\text{ mit }}P(x)=0\right\}}\,$

betrachten. Dazu gehören alle Wurzeln aus rationalen Zahlen, aber noch viele weitere Zahlen darüber hinaus. Sobald ein ganzzahliges Polynom sowohl negative als auch positive Werte annimmt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle und diese gehört nach Definition zu ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }$. Beispielsweise gehört die in Beispiel approximierte Nullstelle (zwischen ${}1$ und ${}2$) von ${}x^{3}-4x+2$ zu dieser Menge. Da diese Zahlen durch ganzzahlige Polynome erfassbar sind, spricht man von reell-algebraischen Zahlen. Diese Zahlen bilden sogar einen Körper, den Körper der reell-algebraischen Zahlen, was keineswegs selbstverständlich ist. Beispielsweise bilden die Quadratwurzeln keinen Körper, es ist ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ keine Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, wohl aber eine reell-algebraische Zahl. Aufgrund von schwierigen Sätzen sind die Eulersche Zahl ${}e$ und die Kreiszahl ${}\pi$ nicht algebraisch, man spricht von transzendenten Zahlen.