Wir wollen eine Nullstelle des Polynoms
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![{\displaystyle {}f(x)=x^{3}-4x+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88088312a0ccee7195363023c453f44516a64238)
mit Hilfe von
Bemerkung
approximieren. Es ist
und
,
es muss also nach
Fakt
eine Nullstelle im Intervall
geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte
und erhalten
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![{\displaystyle {}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}-4\cdot {\frac {3}{2}}+2={\frac {27-48+16}{8}}={\frac {-5}{8}}<0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7a99b4c954af28444bce679195f6fb05ef688c)
Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall
weitermachen. Dessen Intervallmitte ist
. Der Funktionswert an dieser Stelle ist
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![{\displaystyle {}f{\left({\frac {7}{4}}\right)}={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {7}{4}}+2={\frac {343}{64}}-5={\frac {343-320}{64}}={\frac {23}{64}}>0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ae599d036c8e781d91d1e765627bcdcdfdf79b)
Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall
weitermachen, dessen Mitte ist
. Der Funktionswert an dieser Stelle ist
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![{\displaystyle {}f{\left({\frac {13}{8}}\right)}={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-4\cdot {\frac {13}{8}}+2={\frac {2197}{512}}-{\frac {13}{2}}+2={\frac {2197-3328+1024}{512}}={\frac {-107}{512}}<0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8da42cdfb04671b3729db6164a95ffb299af16)
Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen
und
gibt.