Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}r$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe

${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}}\mid i=0,1,\ldots ,r-1\right\}},$

der speziellen linearen Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}r$ ist. Die Zuordnung

$\mathbb {Z} /(r)\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(K\right)},\,i\longmapsto {\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},$

ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.