Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Dann ist die Untergruppe

$\{\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^i& 0\\ 0& {\zeta }^{-i}\end{array}\right)\mid i=0,1,\dots ,r-1\},$

der speziellen linearen Gruppe ${\mathrm{SL}}_2\left(K\right)$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $r$. Die Zuordnung

$\mathbb{Z}/(r)⟶{\mathrm{SL}}_2\left(K\right),i⟼\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^i& 0\\ 0& {\zeta }^{-i}\end{array}\right),$

ist eine zweidimensionale Darstellung einer zyklischen Gruppe.