Zyklische Gruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren. Dazu sei ${}\zeta$ eine ${}n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise ${}\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Die von

${}{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\end{pmatrix}}\,$

erzeugte Untergruppe, also

${}{\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\,,$

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$. Diese Untergruppe wird mit ${}Z_{n}$ bezeichnet.