Zyklische Gruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel

Die zyklische Gruppe der Ordnung $n$ lässt sich einfach als eine Untergruppe der ${\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right)$ realisieren. Dazu sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise  $\zeta =e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$.  Die von

$\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{-1}\end{array}\right)$

erzeugte Untergruppe, also

$\{\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^j& 0\\ 0& {\zeta }^{-j}\end{array}\right)\mid j=0,\dots ,n-1\}\subseteq {\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),$

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Diese Untergruppe wird mit $Z_n$ bezeichnet.