Es sei ein Punkt
auf der Peripherie eines Kreises mit Radius
fixiert
(beispielsweise ein Ventil).
Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden
(der
-Achse)
abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn
den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt
sich zum Zeitpunkt
in
befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch
-
beschrieben.
Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um
. Die Ableitung dieser Kurve ist
-

Die Länge der Zykloide
(also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges)
ist nach
Fakt
im Zeitintervall von
nach
gleich

wobei die letzte Umformung für
gilt. Für
ist dies gleich
.