Zykloide/Längenberechnung/Beispiel

Es sei ein Punkt $V$ auf der Peripherie eines Kreises mit Radius $1$ fixiert (beispielsweise ein Ventil). Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden (der $x$-Achse) abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn $t$ den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt $V$ sich zum Zeitpunkt  $t=0$  in $(0,0)$ befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch

$W:ℝ⟶{ℝ}^2,t⟼W(t)=(t-\sin t,1-\cos t).$

beschrieben.

Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um $2\pi$. Die Ableitung dieser Kurve ist

$W^{\prime }(t)=(1-\cos t,\sin t).$

Die Länge der Zykloide (also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges) ist nach Fakt im Zeitintervall von $0$ nach $s$ gleich

$\begin{array}{cc}{\int }_0^s\sqrt{(1-\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t}dt& ={\int }_0^s\sqrt{2-2\cos t}dt\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^s\sqrt{1-\cos t}dt\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{s}{2}}\sqrt{1-\cos 2u}du\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{s}{2}}\sqrt{1-{\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u}du\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{s}{2}}\sqrt{2{\sin }^{2}u}du\\ & =4{\int }_0^{\frac{s}{2}}\sqrt{{\sin }^{2}u}du\\ & =4{\int }_0^{\frac{s}{2}}|\sin u|du\\ & =4{\int }_0^{\frac{s}{2}}\sin udu\\ & =4(-\cos u{|}_0^{\frac{s}{2}}),\end{array}$

wobei die letzte Umformung für  $s\le 2\pi$  gilt. Für  $s=2\pi$  ist dies gleich  $4\cdot 2=8$.