Zykloide/Längenberechnung/Beispiel

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Es sei ein Punkt auf der Peripherie eines Kreises mit Radius fixiert (beispielsweise ein Ventil). Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden (der -Achse) abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt sich zum Zeitpunkt in befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch

beschrieben.

Cycloid f.gif

Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um . Die Ableitung dieser Kurve ist

Die Länge der Zykloide (also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges) ist nach Fakt im Zeitintervall von nach gleich

wobei die vorletzte Umformung für gilt. Für ist dies gleich .