Zykloide/Längenberechnung/Beispiel

Es sei ein Punkt ${}V$ auf der Peripherie eines Kreises mit Radius ${}1$ fixiert (beispielsweise ein Ventil). Die Zykloide ist diejenige Kurve, die der Punkt beschreibt, wenn der Kreis sich gleichmäßig auf einer Geraden (der ${}x$-Achse) abrollt, wie wenn ein Rad auf der Straße fährt. Wenn ${}t$ den Winkel bzw. die abgerollte Strecke repräsentiert, und der Punkt ${}V$ sich zum Zeitpunkt ${}t=0$ in ${}(0,0)$ befindet, so wird die Bewegung des Ventils durch

$W\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto W(t)=\left(t-\sin t,\,1-\cos t\right).$

beschrieben.

Nach einer Volldrehung befindet sich das Ventil wieder in seiner Ausgangsposition am Rad, aber verschoben um ${}2\pi$. Die Ableitung dieser Kurve ist

${}W'(t)=\left(1-\cos t,\,\sin t\right)\,.$

Die Länge der Zykloide (also die Länge des vom Ventil beschriebenen Weges) ist nach Fakt im Zeitintervall von ${}0$ nach ${}s$ gleich

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{s}{\sqrt {(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2}t}}\,dt&=\int _{0}^{s}{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&={\sqrt {2}}\int _{0}^{s}{\sqrt {1-\cos t}}\,dt\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos 2u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}u+\sin ^{2}u}}\,du\\&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {2\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}{\sqrt {\sin ^{2}u}}\,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\vert {\sin u}\vert \,du\\&=4\int _{0}^{\frac {s}{2}}\sin u\,du\\&=4{\left(-\cos u|_{0}^{\frac {s}{2}}\right)},\end{aligned}}$

wobei die letzte Umformung für ${}s\leq 2\pi$ gilt. Für ${}s=2\pi$ ist dies gleich ${}4\cdot 2=8$.