Zylinder/Geodätische Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

1. Wir betrachten die isometrische (inverse) Karte

   $\varphi \colon ]-\pi ,\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\setminus \{(-1,0)\}\times \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,v\right).$

   Dabei ist ${}\varphi (0,3)=(1,0,3)$. Die Christoffelsymbole sind trivial, daher ist die geodätische Differentialgleichung gleich

   ${}\gamma ^{\prime \prime }=0\,.$

   Die angegebenen Bedingungen bedeuten auf der Karte

   ${}\gamma (0)=(0,3)\,$

   und

   ${}\gamma '(0)=(1,-4)\,.$

2. Eine Lösung in der Karte ist

   ${}\gamma (t)=(0,3)+t(1,-4)=(t,3-4t)\,.$

3. Eine geodätische Kurve mit den Anfangsbedingungen ist daher

   ${}\psi (t)=\varphi (\gamma (t))=\left(\cos t,\,\sin t,\,3-4t\right)\,.$

Zur gelösten Aufgabe