Definition: kreisförmige Mengen[Bearbeiten]
Sei ein Vektorraum über , dann heißt kreisförmig,
falls für alle und für alle auch gilt.
Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis[Bearbeiten]
In einem topologischen -Vektorraum gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Sei beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein und ein Nullumgebung mit
mit . Die Menge ist dabei kreiförmig.
Beweis durch Widerspruch[Bearbeiten]
Wir zeigen nun, dass ebenfalls eine Nullumgebung in ist. Annahme ist, dass keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei .
Beweis 1: Existenz eines Netzes[Bearbeiten]
Wenn keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz , das gegen den Nullvektor konvergiert und bei dem für alle die Komponenten des Netzes außerhalb der Nullumgebung liegen, d.h. gilt.
Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor[Bearbeiten]
Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, gibt es auch für das gegebene eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Mit "" ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze[Bearbeiten]
Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, konvergiert auch wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor .
Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze[Bearbeiten]
Definieren nun ein Netz mit für alle , das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Auch hier ist mit "" die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 5: Widerspruch[Bearbeiten]
Wähle in der Indexmenge so, dass und . Für alle gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und :
- .
Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung[Bearbeiten]
Damit ist auch eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung enthält eine kreisförmige Nullumgebung mit . Die Menge ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis[Bearbeiten]
Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen[Bearbeiten]
In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.
Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen[Bearbeiten]
Seien kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum , dann ist auch eine kreisförmige Nullumgebung.
Aus kreisförmig folgt,
dass für alle mit , und auch und .
Schnitt von offenen Mengen[Bearbeiten]
In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also (siehe Normen, Metriken, Topologie). Nullumgebung sind, gilt auch . Damit ist eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt .
Schnitt kreisförmig[Bearbeiten]
Wir zeigen nun noch, dass kreisförmig ist. Sei dazu und mit beliebig gewählt. Damit gilt und . Die Kreisförmigkeit von und liefert dann
und und damit auch .
- Zeigen Sie für die Definition der , dass die Menge kreisförmig ist.
- Überprüfen Sie, ob die Summe von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
- Überprüfen Sie, ob die Vereinigung von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder kreisförmig ist.
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