Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen

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Definition: kreisförmige Mengen[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über , dann heißt kreisförmig, falls für alle und auch gilt.

Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis[Bearbeiten]

In einem topologischen -Vektorraum gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.


Beweis[Bearbeiten]

Sei beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein und ein Nullumgebung mit

mit . Die Menge ist dabei kreiförmig.

Beweis durch Widerspruch[Bearbeiten]

Wir zeigen nun, dass ebenfalls eine Nullumgebung in ist. Annahme ist, dass keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei .

Beweis 1: Existenz eines Netzes[Bearbeiten]

Wenn keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz , das gegen den Nullvektor konvergiert und bei dem für alle die Komponenten des Netzes außerhalb der Nullumgebung liegen, d.h. gilt.

Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor[Bearbeiten]

Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, gibt es auch für das gegebene eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Mit "" ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.

Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze[Bearbeiten]

Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, konvergiert auch wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor .

Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze[Bearbeiten]

Definieren nun ein Netz mit für alle , das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Auch hier ist mit "" die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.

Beweis 5: Widerspruch[Bearbeiten]

Wähle in der Indexmenge so, dass und . Für alle gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und :

  • .

Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung[Bearbeiten]

Damit ist auch eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung enthält eine kreisförmige Nullumgebung mit . Die Menge ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.


Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis[Bearbeiten]

Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.

Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen[Bearbeiten]

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.

Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen[Bearbeiten]

Seien kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum , dann ist auch eine kreisförmige Nullumgebung.

Beweis[Bearbeiten]

Aus kreisförmig folgt, dass für alle mit , und auch und .

Schnitt von offenen Mengen[Bearbeiten]

In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also (siehe Normen, Metriken, Topologie). Nullumgebung sind, gilt auch . Damit ist eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt .

Schnitt kreisförmig[Bearbeiten]

Wir zeigen nun noch, dass kreisförmig ist. Sei dazu und mit beliebig gewählt. Damit gilt und . Die Kreisförmigkeit von und liefert dann und und damit auch .

Aufgabe[Bearbeiten]

  • Zeigen Sie für die Definition der , dass die Menge kreisförmig ist.
  • Überprüfen Sie, ob die Summe von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
  • Überprüfen Sie, ob die Vereinigung von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder kreisförmig ist.

Siehe auch[Bearbeiten]