Sei
ein Vektorraum über
, dann heißt
kreisförmig,
falls für alle
und für alle
auch
gilt.
Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis
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In einem topologischen
-Vektorraum
gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Sei
beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein
und ein Nullumgebung
mit

mit
. Die Menge
ist dabei kreiförmig.
Wir zeigen nun, dass
ebenfalls eine Nullumgebung in
ist. Annahme ist, dass
keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei
.
Wenn
keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz
, das gegen den Nullvektor
konvergiert und bei dem für alle
die Komponenten des Netzes
außerhalb der Nullumgebung
liegen, d.h.
gilt.
Wenn ein Netz
gegen den Nullvektor
konvergiert, gibt es auch für das gegebene
eine Indexschranke
, für das alle
sind, falls
gilt. Mit "
" ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge
gemeint.
Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze
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Wenn ein Netz
gegen den Nullvektor
konvergiert, konvergiert auch
wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor
.
Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze
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Definieren nun ein Netz
mit
für alle
, das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor
konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke
, für das alle
sind, falls
gilt. Auch hier ist mit "
" die partielle Ordnung auf der Indexmenge
gemeint.
Wähle in der Indexmenge
so, dass
und
. Für alle
gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und
:

.
Damit ist auch
eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung
enthält eine kreisförmige Nullumgebung
mit
. Die Menge
ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis
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Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis
aus kreisförmigen Mengen
. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.
Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen
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Seien
kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum
, dann ist auch
eine kreisförmige Nullumgebung.
Aus
kreisförmig folgt,
dass für alle
mit
,
und
auch
und
.
In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum)
ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also
(siehe Normen, Metriken, Topologie).
Nullumgebung sind, gilt auch
. Damit ist
eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt
.
Wir zeigen nun noch, dass
kreisförmig ist. Sei dazu
und
mit
beliebig gewählt. Damit gilt
und
. Die Kreisförmigkeit von
und
liefert dann
und
und damit auch
.
- Zeigen Sie für die Definition der
, dass die Menge
kreisförmig ist.
- Überprüfen Sie, ob die Summe
von zwei kreisförmigen Nullumgebungen
wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
- Überprüfen Sie, ob die Vereinigung
von zwei kreisförmigen Nullumgebungen
wieder kreisförmig ist.
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