Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine Menge und $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$ mit den Äquivalenzklassen $[x]$ und der Quotientenmenge $M/\sim$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  $x\sim y$  genau dann, wenn  $[x]=[y]$  ist, und dies gilt genau dann, wenn  $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }$. 
2.  $M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]$  ist eine disjunkte Vereinigung.
3. Die kanonische Projektion

   $q:M⟶M/\sim ,x⟼[x],$

   ist surjektiv.

4. Es ist  $q^{-1}([x])=[x]$. 
5. Es sei $\phi :M\to W$ eine Abbildung mit  $\phi (x)=\phi (y)$  für alle $x,y\in M$ mit $x\sim y$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung $\bar{\phi }:M/\sim \to W$ mit  $\phi =\bar{\phi }\circ q$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen