Äquivalenzrelation/Modulo 5/Äquivalent/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine besonders wichtige und typische Aufgabe zu Äquivalenzrelationen. Die Sache hat natürlich nichts mit der ${}5$ zu tun, man könnte genausso gut jede andere natürliche Zahl nehmen (wobei bei ${}0$ und bei ${}1$ gewisse Besonderheiten auftreten). Die Aufgabe ist ein Vorgriff auf Fakt, auch Aufgabe ist ähnlich.

Also, zwei Zahlen stehen in Relation, wenn ihre Differenz von ${}5$ geteilt wird, also ein Vielfaches der ${}5$ ist. Somit stehen etwa ${}3$ und ${}8$ oder ${}3$ und ${}13$ in Relation zueinander, ${}3$ und ${}7$ aber nicht. Bei Nachweis, dass eine Äquivalenzrelation vorliegt, muss man einfach die definierenden Eigenschaften durchgehen und die gegebene Teilbarkeit richtig formulieren. Die einzig sinnvolle Formulierung ist

$5{\text{ teilt }}(x-y){\text{ genau dann wenn, es gibt }}a\in \mathbb {Z} {\text{ mit }}x-y=5a,$

mit der man konsequent arbeiten soll.

Die Reflexivität beruht einfach auf

${}x-x=0=5\cdot 0\,.$

Die beiden anderen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind bedingt formuliert. Wenn (für die Transitivität) ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ ist, dann muss auch ${}x\sim z$ sein. Die beiden Bedingungen bedeutet im vorliegenden Fall, dass es einerseits ein ${}a$ und andererseits ein ${}b$ mit

${}x-y=5a\,$

beziehungsweise

${}y-z=5b\,$

gibt. Dann ist direkt (Distributivgesetz)

${}x-z=(x-y)+(y-z)=5a+5b=5(a+b)\,.$

Zur kommentierten Aufgabe