Es sei
und ein
Körper.
Wir setzen
.
Der ist ein Vektorraum, wobei die Skalarmultiplikation von
und
mit bezeichnet wird. Es sei weiter
-
Zwei Punkte werden also als äquivalent erklärt, wenn sie durch Skalarmultiplikation mit einem Skalar
ineinander überführt werden können. Ebenso könnte man sagen, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn sie dieselbe Gerade durch den Nullpunkt definieren.
Dass wirklich eine
Äquivalenzrelation
vorliegt, sieht man so. Die Reflexivität folgt aus
für jedes
.
Zum Nachweis der Symmetrie sei , d.h. es gibt ein
mit
.
Dann gilt aber auch
,
da ja ein Inverses besitzt. Zum Nachweis der Transitivität sei
und
angenommen, d.h. es gibt
mit
und .
Dann ist insgesamt
mit
.
Die
Äquivalenzklassen
zu dieser Äquivalenzrelation sind die einzelnen Geraden durch den Nullpunkt
(aber ohne den Nullpunkt).
Die
Quotientenmenge
heißt projektiver Raum über
(der Dimension )
und wird mit bezeichnet.