Äquivalenzrelation/Z mal Z/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine zweidimensionale Version von Aufgabe bzw. der Division mit Rest. Es geht um die von den beiden Sprüngen erzeugte Untergruppe der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$. Für diese Untergruppen gibt es keine so einfache Charakterisierung wie Fakt.

Die beiden Teile sind wesentlich verschieden, aber bei beiden Teilen geht es nur um die Differenz der beiden Vektoren, im zweiten Teil also um

${}(4,-3)-(3,7)=(1,-10)\,.$

Bei Teil a) erhält man mit etwas probieren eine Lösung. Bei Teil b) muss man zeigen, dass es definitiv nicht möglich ist, ${}(1,-10)$ in der Form

$x(2,0)+y(3,3)$

darzustellen. Dies kann allgemein schwierig sein, ist hier aber direkt klar, wenn man die zweite Komponente betrachtet.

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