Überlagerung/Homotope Wege/Liftung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$H\colon [a,b]\times [0,1]\longrightarrow X$

eine Homotopie zwischen den beiden Wegen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$. Es gibt wegen der Kompaktheit von ${}[a,b]\times [0,1]$ (bzw. dem Bild $H([a,b]\times [0,1])$) eine Zerlegung von ${}[a,b]\times [0,1]$ in ein Rechtecksnetz aus achsenparallelen Rechtecken ${}R_{ij}$, ${}1\leq i\leq m$, ${}1\leq j\leq n$, derart, dass ${}H(R_{ij})$ in einer offenen Menge ${}V_{ij}\subseteq X$ liegt, bezüglich der die Überlagerung trivialisiert. Die Liftung für einen einzigen Punkt legt dann eine eindeutige Liftung für das ganze Rechteck fest. Wir betrachten die „dünnen“ Rechtecke ${}R_{j}=\bigcup _{i=1}^{n}R_{ij}$, wobei die Einschränkungen von ${}H$ auf den Rändern unten und oben zu ${}\gamma _{1}$ (und ${}\gamma _{2}$) homotope Wege sind. Wir können also die Aussage durch Induktion über ${}j$ beweisen und müssen zeigen, dass die Liftungen des unteren Randes und des oberen Randes homotop sind. Die nach Fakt eindeutige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}_{u}$ des unteren Weges ${}\gamma _{u}$ mit der Anfangsbedingung ${}{\tilde {\gamma }}_{u}(a)=y$ legen eine eindeutige Liftung ${}{\tilde {H}}_{j}$ von ${}H_{j}$ für jedes Rechteck ${}R_{ij}$ fest. Diese Liftung beinhaltet die eindeutige Liftung des oberen Weges und zeigt, dass diese Wege über ${}{\tilde {H}}_{j}$ zueinander homotop sind. Die Liftung des rechten Randes von ${}R_{nj}$ zeigt

${}{\tilde {\gamma }}_{u}(b)={\tilde {\gamma }}_{o}(b)\,.$

Zur bewiesenen Aussage