Übung:Diagonalisierung

Ziel

Durch Anwendung von Computeralgebrasystemen sollen die formal definierten Verfahren experimentell untersucht werden.

Aufgabe 1

Gegeben ist eine darstellende Matrix $A\in Mat(3\times 3,\mathbb {R} )$ für eine lineare Abbildung $f_{A}:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ mit $f_{A}(x):=A\cdot x$ für $x\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich der kanonischen Basis

 $B_{1}=(e_{1},e_{2},e_{3})=\left({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right).$

Ferner lässt sich die Abbildung diagonalisieren bzgl. der Basis

 $B_{2}=(b_{1},b_{2},b_{3})=\left({\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\right)$

Die darstellende Matrix der Abbildung $f_{A}$ in der Basis $B_{2}$ ist die folgende Diagonalmatrix.

D_{A}=\operatorname {diag} \left(1,3,-5\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&-5\end{pmatrix}}

Mit $D_{A}=S^{-1}AS$

Geben Sie die darstellende Matrix $S^{-1}=M_{B_{2}}^{B_{1}}$ für den Basiswechsel von $B_{2}$ nach $B_{1}$ an.
Berechnen die darstellende Matrix $S=M_{B_{1}}^{B_{2}}$ für den Basiswechsel von $B_{1}$ nach $B_{2}$ mit einem Computeralgebrasystem (z.B. wxMaxima).
Berechnen Sie die $A$ !
Gehen Sie umgekehrt vor und starten Sie bei der Matrix $A$ und berechnen Sie die Eigenwerte und die Basiswechselmatrizen. Was fällt Ihnen zu der vorgegebenen Basis auf $B_{2}$ . Geben Sie alternative Basen an, bzgl. $D_{A}$ an.

Aufgabe 2: Wechselkoordinatensystem

In der folgenden Abbildung sehen Sie einen Vektor $vin\mathbb {R} ^{2}$ blau markiert, der im kanonischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren $B_{1}=(e_{1},e_{2})=\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)$ die Koordinaten $\left({\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\right)$ besitzt.

In dem neuen Koordinatensystem $B_{2}=(b_{1},b_{2})=\left({\begin{pmatrix}1,35\\0,17\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0,47\\0,73\end{pmatrix}}\right).$ besitzt der Vektor $v\in \mathbb {R} ^{2}$ näherungsweise die Koordinaten ${\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B_{2}}.$ . Berechnen Sie die Koordinaten $M_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}_{B_{1}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\end{pmatrix}}_{B_{2}}$ exakt mit den obigen Basisvektoren $b_{1},b_{2}$ unter Angabe der Koordinatentransformationsmatirx $M_{B_{1}}^{B_{2}}$ .

Siehe auch