Diagonalisierung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Diagonalmatrix[Bearbeiten]

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt.


Skalarmatrizen[Bearbeiten]

Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.[1] Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix

.

Inversenbildung[Bearbeiten]

Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.

Definition[Bearbeiten]

Eine quadratische Matrix über einem Körper mit

,

deren Elemente mit alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.

Schreibweise Diagonalmatrix[Bearbeiten]

Häufig schreibt man dafür

.

Beispiele[Bearbeiten]

Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Die -Matrix

ist eine Diagonalmatrix.

Besondere Diagonalmatrizen[Bearbeiten]

  • Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.
  • Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.

Eigenschaften von Diagonalmatrizen[Bearbeiten]

Unterring[Bearbeiten]

Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen -Matrizen.

Determinante[Bearbeiten]

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

Transponierte Matrix[Bearbeiten]

Die Transponierte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder die Diagonalmatrix .

Matrizenaddition[Bearbeiten]

Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Matrizenmultiplikation[Bearbeiten]

Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von mit den Diagonaleinträgen.

Berechnung der Inversen[Bearbeiten]

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

Transposition[Bearbeiten]


Symmetrie[Bearbeiten]

Für jede Diagonalmatrix gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: .[2]


Definition: Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten]

Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , so dass gilt , bzw. .

Äquivalente Definition[Bearbeiten]

Äquivalent dazu: Eine -dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. Das Charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren: mit
  2. Die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert .

Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Für eine lineare Abbildung (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis existiert, bei der die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist.

Eigenwerte[Bearbeiten]

Seien und mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von , nämlich , Eigenwerte von zu den Einheitsvektoren sind. Weiterhin ist . Die sind also auch Eigenvektoren von , und zwar jeweils zum Eigenwert .

Da invertierbar sein soll, ist zudem linear unabhängig.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

  • Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix linear unabhängige Eigenvektoren

zu den Eigenwerte hat,

  • der Raum , auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von besitzt.
  • Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus gefundenen Eigenvektoren von mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete und ganz direkt konstruieren.

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix[Bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.


Diagonalisierung[Bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Berechnung Diagonalmatrix[Bearbeiten]

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

(1) Eigenwerte bestimmen[Bearbeiten]

  • Es werden die Eigenwerte der Matrix bestimmt.

(2) Eigenräume bestimmen[Bearbeiten]

  • Es werden die Eigenräume zu allen Eigenwerten berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
.

(3) Diagonalform und Basis[Bearbeiten]

Nun ist die Diagonalform der Matrix bezüglich der Basis :

  1. mit als Eigenvektor zum Eigenwert

Simultane Diagonalisierung[Bearbeiten]

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen mit derselben Transformation diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt

und und da und Diagonalmatrizen sind,
.

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren.

Umkehrung: Simultane Diagonalisierung[Bearbeiten]

In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Wiktionary
 Wiktionary: Diagonalisierung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.
  2. Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, S. 363.

Seiten-Information[Bearbeiten]