Trigonalisierbarkeit

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Allgemeines[Bearbeiten]

Die Trigonalisierung ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie bezeichnet eine Ähnlichkeitsabbildung einer quadratischen Matrix auf eine obere Dreiecksmatrix. Dies ist nicht für jede quadratische Matrix möglich, und man bezeichnet deshalb Matrizen, die zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich sind, als trigonalisierbare Matrizen. Entsprechend bezeichnet man einen Vektorraum-Endomorphismus als trigonalisierbaren Endomorphismus, wenn es unter seinen Darstellungsmatrizen eine obere Dreiecksmatrix gibt.

Zwischen trigonalisierbaren Matrizen und trigonalisierbaren Endomorphismen gibt es einen Zusammenhang: Die trigonalisierbaren Matrizen sind die Darstellungsmatrizen der trigonalisierbaren Endomorphismen.

Kriterien für die Trigonalisierbarkeit[Bearbeiten]

Folgende Aussagen sind äquivalent und legen damit fest, ob eine Matrix trigonalisierbar ist:

  • die Matrix ist über dem Körper trigonalisierbar.
  • die Matrix ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Das heißt, es existiert eine obere Dreiecksmatrix und eine invertierbare Matrix mit .
  • das charakteristische Polynom der Matrix zerfällt über dem Körper in Linearfaktoren.
  • das Minimalpolynom der Matrix zerfällt über dem Körper in Linearfaktoren.
  • die Matrix besitzt über dem Körper eine Jordan-Normalform.

Trigonalisierung in [Bearbeiten]

Insbesondere ist damit jede quadratische Matrix über trigonalisierbar, da hier jedes nichtkonstante Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Berechnung der oberen Dreiecksmatrix[Bearbeiten]

Ähnlichkeit von Matrizen[Bearbeiten]

Um die gesuchte obere Dreiecksmatrix zu berechnen, berechnen wir zuerst die Matrix , mit der die Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt wird. Es gilt:

Des Weiteren haben und die selben Eigenwerte.

Charakteristisches Polynom[Bearbeiten]

Da das charakteristische Polynom von über in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor .

Eigenvektor zur Basis ergänzen[Bearbeiten]

Dieser Eigenvektor wird nun zu einer Basis des ergänzt. Die Matrix sei die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von der Basis zu der Einheitsbasis. Damit lässt sich berechnen und die Form

Fortsetzung für Untermatrizen[Bearbeiten]

Für das charakteristische Polynom der -Matrix gilt . Es zerfällt daher auch in Linearfaktoren und ist somit selbst wieder trigonalisierbar. Dieses Verfahren lässt sich nun fortsetzen, bis man berechnet hat. Die dabei entstehende Matrix ist genau die Dreiecksmatrix . Die Matrix ergibt sich als Produkt der Basiswechselmatrizen.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Schur-Zerlegung ist ein Beispiel für ein Trigonalisierungsverfahren über oder
  • Diagonalisierung

Literatur[Bearbeiten]

Seiten-Information[Bearbeiten]

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