2x2-Matrix/Mindestens eine 0/Nicht unbedingt zwei 0/Aufgabe/Lösung

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a) Es sei , . Wenn ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist, so ergänzen wir durch einen Vektor zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch gegebene lineare Abbildung durch eine zu ähnliche Matrix der Form

beschrieben, es gibt also darin mindestens eine . Wenn hingegen kein Eigenvektor ist, so sind und linear unabhängig und bilden eine Basis des . Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form

beschrieben.

b) Wir betrachten die Matrix

über und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine vorkommt. Es sei eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche Spur, die gleiche Determinante und das gleiche charakteristische Polynom wie . Da die Determinante von gleich ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von zweimal eine stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur sein müsste, diese ist aber . Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre eine Diagonalmatrix und wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach Beispiel

nicht der Fall.