Abbildung/Äquivalenzrelation/Quotientenabbildung/Aufgabe/Kommentar

Die Konstruktion der Abbildung ${}\psi$ aus der Abbildung ${}f$, die in Fakt durchgeführt wurde, ist eine schöne Idee, um jede Abbildung in eine injektive Abbildung umzuwandeln: ist ${}f$ nicht injektiv, dann existieren ${}x,y\in M$ mit ${}x\neq y$, sodass ${}f(x)=f(y)$. Aber ${}x$ und ${}y$ sind "gleich" in der Quotientenmenge ${}Q$ (d.h. ${}[x]=[y]$). Somit ist ${}\psi$ immer eine injektive Abbildung (siehe auch Bemerkung). Durch diese Konstruktion sieht man also die Wichtigkeit von Äquivalenzrelationen und Quotientenmengen.

Wenn ${}f$ weiterhin eine surjektive Abbildung ist, dann ist ${}\psi$ ebenfalls surjektiv und somit bijektiv: für jedes ${}z\in N$ existiert ein ${}x\in M$ mit ${}f(x)=z$ und folglich gilt ${}\psi ([x])=f(x)=z$.

Diese Aufgabe ist ein sehr nützliches Werkzeug zum Nachweis der Bijektivität, insbesondere wenn ${}M$ und ${}N$ dieselbe algebraische Struktur (z. B. Gruppe, Ring, Vektorraum) haben und ${}f$ ein Homomorphismus ist; siehe Vorlesung 12.

Zur kommentierten Aufgabe