Beweis
(1)
(2). Es sei also
bijektiv und wir müssen eine Abbildung
mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die
Umkehrabbildung
diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes
ist
.
Das Element
wird auf
abgebildet und es ist das einzige Element aus
mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung
.
Also ist
.
Für jedes
ist
.
Nach der Definition von
ist
dasjenige Element aus
, dass von
auf
abgebildet wird. Also ist
und damit ist
-

(2)
(3) ist trivial, da das
aus (2) sowohl die Eigenschaft von
aus (3) als auch die Eigenschaft von
aus (3) erfüllt.
(3)
(1). Es gebe nun die Abbildungen
und
mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann
bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien
-
Wir wenden darauf die Abbildung
an und erhalten
-

Da
-

ist, folgt direkt
.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass
durch
auf
abgebildet wird. Dies folgt direkt aus
-
