Abbildung/Bijektiv und Existenz von links und rechts Inversem/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Es sei also ${}F$ bijektiv und wir müssen eine Abbildung ${}G$ mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die Umkehrabbildung ${}F^{-1}$ diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes ${}x\in L$ ist ${}{\left(F^{-1}\circ F\right)}(x)=F^{-1}(F(x))$. Das Element ${}x$ wird auf ${}F(x)$ abgebildet und es ist das einzige Element aus ${}L$ mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung ${}x=F^{-1}(F(x))$. Also ist ${}F^{-1}\circ F=\operatorname {Id} _{L}$.

Für jedes ${}y\in M$ ist ${}(F\circ F^{-1})(y)=F(F^{-1}(y))$. Nach der Definition von ${}F^{-1}$ ist ${}F^{-1}(y)$ dasjenige Element aus ${}L$, dass von ${}F$ auf ${}y$ abgebildet wird. Also ist ${}F(F^{-1}(y))=y$ und damit ist

${}F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{M}\,.$

(2) ${}\Rightarrow$ (3) ist trivial, da das ${}G$ aus (2) sowohl die Eigenschaft von ${}G$ aus (3) als auch die Eigenschaft von ${}H$ aus (3) erfüllt.

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Es gebe nun die Abbildungen ${}G$ und ${}H$ mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann ${}F$ bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien

$x,x'\in L{\text{ gegeben mit }}F(x)=F(x').$

Wir wenden darauf die Abbildung ${}G$ an und erhalten

${}G(F(x))=G(F(x'))\,.$

Da

${}G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$

ist, folgt direkt ${}x=x'$.

Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}y\in M$ beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass ${}H(y)\in L$ durch ${}F$ auf ${}y$ abgebildet wird. Dies folgt direkt aus

${}F(H(y))=\operatorname {Id} _{M}(y)=y\,.$

Zur bewiesenen Aussage