Abbildung/Graph/Relationseigenschaften/Aufgabe/Kommentar

Eine Warnung vorneweg: es sind nicht die allerwichtigsten Eigenschaften einer Abbildung, die durch die wichtigsten Relationseigenschaften beschrieben werden. Dies liegt darin begründet, dass bei einer Abbildung jedes ${}x\in M$ nur mit genau einem Element ${}y$ rechts in Relation steht, nämlich eben mit ${}y=f(x)$. Von daher handelt es sich um eine „dünn besetzte“ Relation. Die Relationseigenschaften haben aber häufig (symmetrisch, transitiv) die Form, dass wenn etwas in Relation steht, dass dann auch etwas anderes in Relation steht, was typischerweise bedeutet, dass viele Paare zur Relation gehören.

Machen wir uns die in Frage stehende Relation noch mal kurz klar. ${}xRy$ bedeutet hier einfach ${}f(x)=y$. also dass ${}x$ auf ${}y$ abgebildet wird.

Die Reflexivität bedeutet ${}xRx$, also hier ${}f(x)=x$ für alle ${}x\in M$. D.h. die einzige Abbildung mit einem reflexiven Graphen ist die Identität.

Die Transitivität bedeutet, dass wenn ${}x$ unter ${}f$ auf ${}y$ und ${}y$ unter ${}f$ auf ${}z$ abgebildet wird, dass dann ${}x$ unter ${}f$ auf ${}z$ abgebildet wird. Das hört sich erst mal komisch an, grad wurde ja ${}x$ auf ${}y$ abgebildet und jetzt soll es auf ${}z$ abgebildet werden. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist ${}y=z$. D.h. die Transitivität des Graphen bedeutet, dass Elemente, die zum Bild der Abbildung gehören, auf sich selbst abgebildet werden, also ${}f(f(x))=f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.

Hier gibt es aus der linearen Algebra wichtige Beispiele, die sogenannten Projektionen im Sinne von Definition. Beispielsweise ist die lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,0),$

eine solche Projektion, nämlich die Projektion auf die ${}x$-Achse, aufgefasst im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

Symmetrie und Antisymmetrie haben mit Fixpunkteigenschaften zu tun.

Zur kommentierten Aufgabe