Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien ${}D$ und ${}W$ Mengen, wobei ${}D$ endlich sei. Es sei ${}\sim$ die Äquivalenzrelation auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}$ aus Aufgabe und sei

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)},$

die in Aufgabe besprochene Abbildung.

1. Es sei ${}\pi \colon D\rightarrow D$ eine bijektive Abbildung und ${}f\colon D\rightarrow W$ eine Abbildung. Zeige

   ${}\Psi (f)=\Psi (f\circ \pi )\,.$

2. Es seien ${}f,g\colon D\rightarrow W$. Zeige ${}f\sim g$ genau dann, wenn ${}\Psi (f)=\Psi (g)$ ist.
3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   ${\tilde {\Psi }}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}/\sim \!\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)}$

   mit ${}\Psi ={\tilde {\Psi }}\circ p$ gibt, wobei ${}p$ die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.

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