Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es seien $D$ und $W$ Mengen, wobei $D$ endlich sei. Es sei $\sim$ die Äquivalenzrelation auf $\mathrm{Abb}(D,W)$ aus Aufgabe und sei

$\mathrm{\Psi }:\mathrm{Abb}(D,W)⟶\mathrm{Abb}(W,\mathbb{N}),f⟼(w\mapsto \mathrm{\#}(f^{-1}(w))),$

die in Aufgabe besprochene Abbildung.

1. Es sei $\pi :D\to D$ eine bijektive Abbildung und $f:D\to W$ eine Abbildung. Zeige

   $\mathrm{\Psi }(f)=\mathrm{\Psi }(f\circ \pi ).$

2. Es seien $f,g:D\to W$. Zeige  $f\sim g$  genau dann, wenn  $\mathrm{\Psi }(f)=\mathrm{\Psi }(g)$  ist.
3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   $\tilde{\mathrm{\Psi }}:\mathrm{Abb}(D,W)/\sim ⟶\mathrm{Abb}(W,\mathbb{N})$

   mit  $\mathrm{\Psi }=\tilde{\mathrm{\Psi }}\circ p$  gibt, wobei $p$ die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.

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