Abelsche Kategorie/Genügend Injektive/Rechtsabgeleiteter Funktor/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Die injektive Auflösung von ${}A$ ab dem ${}m$-ten Glied ist eine injektive Auflösung von ${}A_{m}$. Daher gibt es direkt Identifizierungen

${}R^{n}F(A)=R^{n-m}F(A_{m})\,$

für jedes ${}1\leq m\leq n$. Bei ${}m=2$ ist diese Identifizierung auch die durch den verbindenden Homomorphismus gegebene Abbildung. Unter diesen Identifizierungen stimmen auch die verbindenden Homomorphismen zwischen ${}A$ und ${}B$ überein, nämlich

${\begin{matrix}R^{n}F(C)&{\stackrel {\delta ^{n+1}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A)&\\\!\!\!\!\!=\downarrow &&\downarrow =\!\!\!\!\!&\\R^{n-1}F(C_{1})&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n}F(A_{1})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Es liegt das kommutative und exakte Diagramm

   ${\begin{matrix}&&0&&0&&0&&\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &A_{n}&\longrightarrow &B_{n}&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &I^{n}&\longrightarrow &J^{n}&\longrightarrow &K^{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &A_{n+1}&\longrightarrow &B_{n+1}&\longrightarrow &C_{n+1}\ &\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&0&&0&&0&&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   vor.

   Der verbindende Homomorphismus ${}\delta ^{n}\colon R^{n}F(C)\rightarrow R^{n+1}F(A)$ stimmt mit den verbindenden Homomorphismen ${}\delta ^{m}\colon R^{m}F(C_{n-m})\rightarrow R^{m+1}F(A_{n-m})$ überein, da die injektive Auflösung von ${}A$ ab dem ${}m$-ten Glied eine injektive Auflösung von ${}A_{m}$ ist.

   Dabei ist

   ${}R^{n+1}F(A)=R^{0}F(A_{n+1})/\operatorname {bild} {\left(R^{0}F(I^{n})\right)}\,$

   und

   ${}R^{n}F(C)=R^{0}F(C_{n})/\operatorname {bild} {\left(R^{0}F(K^{n-1})\right)}\,$

   und der verbindende Homomorphismus ergibt sich aus dem entsprechenden Diagramm.

   ${\begin{matrix}R^{n-k}F(C_{k})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{n-k+1}F(A_{k-1})&\\\downarrow &&\downarrow &\\R^{n-k+1}F(C_{k-1})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{n-k+2}F(A_{k-2})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

   Die vertikalen Homomorphismen sind Isomorphismen aus Teil (1), die von den kurzen exakten Sequenzen zu den Auflösungen herrühren (${}n\geq 2$).

Zur bewiesenen Aussage