Abgeschlossene Kugel/Volumen/Flächenintegral/Passende Form/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=d{\left(xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy\right)}\\&=dx\wedge dy\wedge dz-dy\wedge dx\wedge dz+dz\wedge dx\wedge dy\\&=dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz+dx\wedge dy\wedge dz\\&=3dx\wedge dy\wedge dz,\end{aligned}}$

wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.

b) Für einen Punkt ${}P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in S^{2}$ und zwei orthonormale, (zusammen mit ${}P$) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren ${}u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}$ und ${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$ ist nach Fakt

${}{\begin{aligned}\omega {|}_{S^{2}}(u,v)&=\omega (u,v)\\&=z\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{pmatrix}}-y\det {\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}+x\det {\begin{pmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}x&u_{1}&v_{1}\\y&u_{2}&v_{2}\\z&u_{3}&v_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber ${}1$. Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.

c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich

${}\int _{S^{2}}\omega =\int _{B\left(0,1\right)}d\omega =\int _{B\left(0,1\right)}3dx\wedge dy\wedge dz=3\lambda ^{3}(B\left(0,1\right))=4\pi \,.$

Zur gelösten Aufgabe