Abgeschlossene Kugel/Volumen/Flächenintegral/Passende Form/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

\begin{matrix} d ω & = d (x d y \land d z - y d x \land d z + z d x \land d y) \\ = d x \land d y \land d z - d y \land d x \land d z + d z \land d x \land d y \\ = d x \land d y \land d z + d x \land d y \land d z + d x \land d y \land d z \\ = 3 d x \land d y \land d z, \end{matrix}

wobei wir verwendet haben, dass sich das Vorzeichen bei der Vertauschung von Faktoren im Dachprodukt ändert.

b) Für einen Punkt $P = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in S^{2}$ und zwei orthonormale, (zusammen mit $P$ ) die Orientierung repräsentierende Tangentialvektoren $u = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})$ und $v = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ ist nach Fakt

\begin{matrix} ω |_{S^{2}} (u, v) & = ω (u, v) \\ = z det (\begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix}) - y det (\begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{3} & v_{3} \end{matrix}) + x det (\begin{matrix} u_{2} & v_{2} \\ u_{3} & v_{3} \end{matrix}) \\ = det (\begin{matrix} x & u_{1} & v_{1} \\ y & u_{2} & v_{2} \\ z & u_{3} & v_{3} \end{matrix}) . \end{matrix}

Die Determinante eines die Orientierung repräsentierenden Orthonormalsystems ist aber $1$ . Also erfüllt die eingeschränkte Differentialform die Eigenschaft, die die Standardvolumenform charakterisiert.

c) Die Oberfläche der Kugel ist unter Verwendung von a), b), des Satzes von Stokes und des Kugelvolumens gleich

\int_{S^{2}} ω = \int_{B (0, 1)} d ω = \int_{B (0, 1)} 3 d x \land d y \land d z = 3 λ^{3} (B (0, 1)) = 4 π .

Zur gelösten Aufgabe