Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung

Auf einem euklidischen Vektorraum entsprechen sich die Vektorfelder und die $1$-Differentialformen gemäß Fakt. Das gleiche gilt für eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit  $M\subseteq {ℝ}^n$,  und Differentialformen auf ${ℝ}^n$ lassen sich auf $M$ einschränken. Daher kann man auch ein Vektorfeld $F$ auf ${ℝ}^n$ zu einem Vektorfeld auf $M$ zurückziehen: man betrachtet die zugehörige Differentialform auf ${ℝ}^n$, die zurückgezogene Differentialform auf $M$ und dazu das zugehörige Vektorfeld auf $M$. Geometrisch gesprochen wird dabei einem Punkt  $P\in M$  aber nicht die Richtung $F(P)$ zugeordnet, da dieser Vektor im Allgemeinen gar nicht zum Tangentialraum  $T_{P}M\subseteq T_P{ℝ}^n={ℝ}^n$  gehört. Stattdessen muss man die orthogonale Projektion von $F(P)$ auf $T_{P}M$ nehmen (hierbei wird also die euklidische Struktur verwendet).