Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung

Auf einem euklidischen Vektorraum entsprechen sich die Vektorfelder und die ${}1$-Differentialformen gemäß Fakt. Das gleiche gilt für eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, und Differentialformen auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ lassen sich auf ${}M$ einschränken. Daher kann man auch ein Vektorfeld ${}F$ auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ zu einem Vektorfeld auf ${}M$ zurückziehen: man betrachtet die zugehörige Differentialform auf ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zurückgezogene Differentialform auf ${}M$ und dazu das zugehörige Vektorfeld auf ${}M$. Geometrisch gesprochen wird dabei einem Punkt ${}P\in M$ aber nicht die Richtung ${}F(P)$ zugeordnet, da dieser Vektor im Allgemeinen gar nicht zum Tangentialraum ${}T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ gehört. Stattdessen muss man die orthogonale Projektion von ${}F(P)$ auf ${}T_{P}M$ nehmen (hierbei wird also die euklidische Struktur verwendet).