Ableitung der Umkehrfunktion/Dritte Wurzel/Beispiel

Die Funktion

$f^{-1}:ℝ⟶ℝ,x⟼x^{\frac{1}{3}},$

ist die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit  $f(x)=x^3$.  Deren Ableitung in $a$ ist  $f^{\prime }(a)=3a^2$,  dies ist für  $a\ne 0$  von $0$ verschieden. Nach Fakt ist für  $b\ne 0$  somit

$\left(f^{-1}\right)(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}=\frac{1}{3{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^2}=\frac{1}{3}{b}^{-\frac{2}{3}}.$

Im Nullpunkt ist $f^{-1}$ nicht differenzierbar.