Abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass sämtliche $M_i$ nicht leer sind. Es gibt dann surjektive Abbildungen

${\phi }_i:\mathbb{N}⟶M_i.$

Daraus konstruieren wir die Abbildung

$\phi :I\times \mathbb{N}⟶\bigcup _{i\in I}{M}_i,(i,n)⟼{\phi }_i(n),$

die offensichtlich surjektiv ist. Nach Fakt ist die Produktmenge $I\times \mathbb{N}$ abzählbar, also gilt das auch für das Bild unter $\phi$, und dieses ist die Vereinigung.

Zur bewiesenen Aussage