Abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen/Abzählbar/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können annehmen, dass sämtliche ${}M_{i}$ nicht leer sind. Es gibt dann surjektive Abbildungen

$\varphi _{i}\colon \mathbb {N} \longrightarrow M_{i}.$

Daraus konstruieren wir die Abbildung

$\varphi \colon I\times \mathbb {N} \longrightarrow \bigcup _{i\in I}M_{i},\,(i,n)\longmapsto \varphi _{i}(n),$

die offensichtlich surjektiv ist. Nach Fakt ist die Produktmenge ${}I\times \mathbb {N}$ abzählbar, also gilt das auch für das Bild unter ${}\varphi$, und dieses ist die Vereinigung.

Zur bewiesenen Aussage