Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe/Lösung

1. 

   ${}V=V(XY,XZ,YZ)=V(XY)\cup V(XZ)\cup V(YZ)\,$

   ist die Vereinigung der drei Achsen im Raum.

2. Die lineare Abbildung

   $K^{3}\longrightarrow K^{2},$

   die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$ bezüglich der Standardbasen gegeben ist, bildet die ${}X-Y$-Ebene identisch auf sich ab und die ${}Z$-Achse auf die Hauptdiagonale in dieser Ebene. Damit liegt das Bild des Achsenkreuzes ganz im Nullstellengebilde ${}W=V(ST(S-T))$ und ergibt somit einen Morphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow W$. Dieser ist bijektiv, da jede beteiligte Gerade bijektiv auf eine Gerade abgebildet wird.

3. Algebraisch liegt der ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[S,T]/(ST(S-T))\longrightarrow K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ)$

   mit ${}S\mapsto X+Z$ und ${}T\mapsto Y+Z$ vor. Dies induziert einen ${}K$-Algebrahomomorphismus der Nenneraufnahmen

   $(K[S,T]/(ST(S-T)))_{S+T}\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(XY,XZ,YZ))_{X+Y+2Z}.$

   Dabei ist der Schnittpunkt von ${}V(S+T)$ bzw. ${}V(X+Y+2Z)$ mit den drei Geraden jeweils der Nullpunkt (die Charakteristik ist nicht ${}2$), sodass diese Nenneraufnahmen jeweils das Komplement des Nullpunktes beschreiben. Der rechte Ring ist, geschrieben in den Variablen ${}A=X+Z,B=Y+Z,Z$, gleich

   $K[A,B,Z,(A+B)^{-1}]/((A-Z)Z,(B-Z)Z,(A-Z)(B-Z))).$

   In diesem Ring ist Wegen

   ${}2AB=2Z(A+B)-2Z^{2}=2Z(A+B)-AZ-BZ=Z(A+B)\,$

   und somit ist

   ${}Z={\frac {2AB}{A+B}}\,.$

   Man kann also ${}Z$ eliminieren, die Idealerzeuger werden dann wegen

   ${}A-Z=A-{\frac {2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}+AB-2AB}{A+B}}={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\,$

   zu

   ${}{\begin{aligned}(A-Z)Z&={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {2AB}{A+B}}\\&={\frac {2A^{2}B(A-B)}{(A+B)^{2}}},\end{aligned}}$

   ${}{\begin{aligned}(B-Z)Z&={\frac {2AB^{2}(A-B)}{(A+B)^{2}}}\\\end{aligned}}$

   und

   ${}(A-Z)(B-Z)={\frac {A^{2}-AB}{A+B}}\cdot {\frac {B^{2}-AB}{A+B}}={\frac {A^{2}B^{2}+A^{2}B^{2}-AB^{3}-A^{3}B}{(A+B)^{2}}}\,.$

   Da ${}A+B$ und ${}2$ Einheiten sind, bedeuten die beiden ersten Idealerzeuger

   ${}A^{3}B=A^{2}B^{2}=AB^{3}\,,$

   sodass der dritte Erzeuger überflüssig ist. Wegen

   ${}AB(A-B)(A+B)=AB{\left(A^{2}-B^{2}\right)}\,$

   gehört auch ${}AB(A-B)$ zum Ideal, das andererseits das Ideal erzeugt. Also ist die durch ${}S\mapsto A$ und ${}T\mapsto B$ gegebene Abbildung ein Isomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe