Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
  1. Draft0.svg

    ist die Vereinigung der drei Achsen im Raum.

  2. Die lineare Abbildung

    die durch die Matrix bezüglich der Standardbasen gegeben ist, bildet die -Ebene identisch auf sich ab und die -Achse auf die Hauptdiagonale in dieser Ebene. Damit liegt das Bild des Achsenkreuzes ganz im Nullstellengebilde und ergibt somit einen Morphismus . Dieser ist bijektiv, da jede beteiligte Gerade bijektiv auf eine Gerade abgebildet wird.

  3. Algebraisch liegt der -Algebrahomomorphismus

    mit und vor. Dies induziert einen -Algebrahomomorphismus der Nenneraufnahmen

    Dabei ist der Schnittpunkt von bzw. mit den drei Geraden jeweils der Nullpunkt (die Charakteristik ist nicht ), so dass diese Nenneraufnahmen jeweils das Komplement des Nullpunktes beschreiben. Der rechte Ring ist, geschrieben in den Variablen , gleich

    In diesem Ring ist Wegen

    und somit ist

    Man kann also eliminieren, die Idealerzeuger werden dann wegen

    zu

    und

    Da und Einheiten sind, bedeuten die beiden ersten Idealerzeuger

    so dass der dritte Erzeuger überflüssig ist. Wegen

    gehört auch zum Ideal, das andererseits das Ideal erzeugt. Also ist die durch und gegebene Abbildung ein Isomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe