Achter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe/Lösung

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Der achte Kreisteilungskörper hat den Grad und besitzt vier komplexe Einbettungen, also . Die Diskriminante ist nach Fakt gleich . Die Normschranke aus Fakt ist somit

Es ist also zu überprüfen, ob eine Primfaktorzerlegung in besitzen.

Es ist

das einzige Primideal oberhalb von in ist . Wegen

ist prim und somit ist

die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und besitzt eine Primfaktorzerlegung.

In gilt die Zerlegung

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in besitzen. Über liegen somit die Primideale und . In gilt

Da in eine Einheit ist, folgt, dass in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig sind und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für vor (nämlich ).

In gilt die Zerlegung

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da und keine Quadrate in sind. Über liegen somit die Primideale und . In gilt

was bedeutet, dass die in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und

ist die Primfaktorzerlegung.