Der achte Kreisteilungskörper
hat den Grad
und besitzt vier komplexe Einbettungen, also
.
Die Diskriminante ist nach
Fakt
gleich
. Die Normschranke aus
Fakt
ist somit
-
![{\displaystyle {}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2}{\sqrt {256}}={\frac {64}{\pi ^{2}}}<7\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebeead51360c551054222290a4709333b921675)
Es ist also zu überprüfen, ob
eine Primfaktorzerlegung in
besitzen.
-
![{\displaystyle {}p=2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77178e52717115edf15abbe4a8f93dad3eb85125)
Es ist
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X+1\right)}^{4}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f7ff3ebe90078e170d46bc46e8d30fdcbc3363)
das einzige Primideal oberhalb von
in
ist
. Wegen
-
![{\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\right)}/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1,X+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dd84cd15d57d6cec7bbc31fa6710eb4a2fe0ee)
ist
prim und somit ist
-
![{\displaystyle {}(2)=(X+1)^{4}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816f6d50350ea5b6bc0c8290263562b92a894324)
die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und
besitzt eine Primfaktorzerlegung.
-
![{\displaystyle {}p=3\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c85cd6cd106ef51b25ba2791e2464826fd8e062)
In
gilt die Zerlegung
-
![{\displaystyle {}X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227cf2422947d15157db077149af0a8f774be21a)
wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in
besitzen. Über
liegen somit die Primideale
und
.
In
gilt
-
![{\displaystyle {}X^{4}+1=(X^{2}+X-1)(X^{2}-X-1)+3X^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df1f387ebc446d041362a4aa4ceb7a905e2b689)
Da
in
eine Einheit ist, folgt, dass
in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig sind und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für
vor
(nämlich
).
-
![{\displaystyle {}p=5\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3643ce4af25674beb03f6bee71c43687a56e8ca)
In
gilt die Zerlegung
-
![{\displaystyle {}X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779aad49f3d240243ad8c6f0d1e2c5236447040e)
wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da
und
keine Quadrate in
sind. Über
liegen somit die Primideale
und
.
In
gilt
-
![{\displaystyle {}X^{4}+1=(X^{2}-2)(X^{2}+2)+5\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc752b7b9cba23fd89fb167e23d88beac2cc0b4)
was bedeutet, dass die
in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und
-
![{\displaystyle {}5=(X^{2}-2)(X^{2}+2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec1d1c7d640c062e6262884d381e9f14d38d450)
ist die Primfaktorzerlegung.