Der achte Kreisteilungskörper
hat den Grad
und besitzt vier komplexe Einbettungen, also
.
Die Diskriminante ist nach
Fakt
gleich
. Die Normschranke aus
Fakt
ist somit
-

Es ist also zu überprüfen, ob
eine Primfaktorzerlegung in
besitzen.
-

Es ist
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X^{4}+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)[X]/{\left(X+1\right)}^{4}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f7ff3ebe90078e170d46bc46e8d30fdcbc3363)
das einzige Primideal oberhalb von
in
ist
. Wegen
-
![{\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}\right)}/(X+1)=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1,X+1\right)}=\mathbb {Z} /(2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dd84cd15d57d6cec7bbc31fa6710eb4a2fe0ee)
ist
prim und somit ist
-

die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und
besitzt eine Primfaktorzerlegung.
-

In
gilt die Zerlegung
-

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in
besitzen. Über
liegen somit die Primideale
und
.
In
gilt
-

Da
in
eine Einheit ist, folgt, dass
in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig sind und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für
vor
(nämlich
).
-

In
gilt die Zerlegung
-

wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da
und
keine Quadrate in
sind. Über
liegen somit die Primideale
und
.
In
gilt
-

was bedeutet, dass die
in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und
-

ist die Primfaktorzerlegung.