Affin-algebraische Menge/Punkt/Regulär und transversaler Schnitt/Aufgabe

Es sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und ${}P\in V$ ein Punkt, in dem ${}V$ die Dimension ${}d$ besitzt. Es sei ${}{\mathcal {O}}_{P}$ der lokale Ring zu ${}P$. Zeige, dass ${}{\mathcal {O}}_{P}$ genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen ${}(n-d)$-dimensionalen linearen Raum ${}L=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}_{P}\,$

gilt.

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