Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir $V$ , ohne eine solche Zerlegung. $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung $V = V_{1} \cup V_{2}$ . Da $V_{1}$ und $V_{2}$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$ , was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Es seien

V = V_{1} \cup \dots \cup V_{k} = W_{1} \cup \dots \cup W_{m}

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

V_{1} = V_{1} \cap V = V_{1} \cap (W_{1} \cup \dots \cup W_{m}) = (V_{1} \cap W_{1}) \cup \dots \cup (V_{1} \cap W_{m}) .

Da $V_{1}$ irreduzibel ist, muss $V_{1} \subseteq W_{j}$ für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument $W_{j} \subseteq V_{i}$ für ein $i$ , woraus $i = 1$ und $V_{1} = W_{j}$

folgt. Ebenso findet sich

V_{2}

etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.

Zur gelösten Aufgabe