Affin-lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,.$

Aus

${}\varphi (v)=0\,$

folgt

${}\psi (P+v)=\psi (P)\,,$

was aufgrund der Bijektivität von ${}\psi$ direkt

${}P+v=P\,,$

also

${}v=0\,$

bedeutet. Daher ist ${}\varphi$ injektiv. Zu ${}w\in W$ gibt es zu einem Punkt ${}P\in E$ wegen der Surjektivität von ${}\psi$ ein ${}R\in E$ mit

${}\psi (R)=\psi (P)+w\,.$

Daher ist

${}\varphi ({\overrightarrow {RP}})=w\,$

und ${}\varphi$ ist auch surjektiv. Mit der linearen Umkehrfunktion ${}\varphi ^{-1}$ gilt

${}\psi ^{-1}(Q+w)=\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)\,$

für ${}Q\in F$ und ${}w\in W$. Die bijektive Abbildung ${}\psi$ ergibt nämlich die Identität

${}{\begin{aligned}\psi (\psi ^{-1}(Q+w))&=Q+w\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q))+\varphi (\varphi ^{-1}(w))\\&=\psi (\psi ^{-1}(Q)+\varphi ^{-1}(w)).\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe