Beweis
Es sei
. Es gibt nach
Fakt
eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696f20162fd54d17249e97c62f5ce1f54e46621d)
für alle
![{\displaystyle {}i\in I\setminus \{i_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db1072dacbbb82aee824d6f00d6e7c0ac9fdfe6)
.
Dann ist
-
![{\displaystyle {}\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10a5b3da3d3f14b60bb6d572c9a939294046c74)
eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung
durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, so dass
-
![{\displaystyle {}\psi _{0}=\varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3266b8244382e24b929899e3fb9264e69d1c1a)
sein muss.