Affin-lineares Bündel/R^2/Fasern/Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

$Y:=\{(s,t,u,v)\in {ℝ}^4\mid su+tv=1\}$

mit der Projektion

$p:Y⟶{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}=X,(s,t,u,v)⟼(s,t).$

1. Zeige, dass jede Faser von $p$ homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
2. Zeige, dass durch

   $\phi (s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t))=(s,t,\frac{s}{s^2+t^2},\frac{t}{s^2+t^2})$

   eine stetige Abbildung $\phi :X\to Y$ mit

   $p\circ \phi ={\mathrm{Id}}_X$

   gegeben ist.

3. Definiere einen Homöomorphismus zwischen $Y$ und $X\times ℝ$.
4. Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung $\psi :X\to Y$ mit

   $p\circ \psi ={\mathrm{Id}}_X$

   gibt.

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