Affin-lineares Bündel/R^2/Fasern/Aufgabe

Betrachte den topologischen Raum

${}Y:={\left\{(s,t,u,v)\in \mathbb {R} ^{4}\mid su+tv=1\right\}}\,$

mit der Projektion

$p\colon Y\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}=X,\,(s,t,u,v)\longmapsto (s,t).$

1. Zeige, dass jede Faser von ${}p$ homöomorph zu einer reellen Geraden ist.
2. Zeige, dass durch

   ${}\varphi (s,t)=(s,t,u(s,t),v(s,t))={\left(s,t,{\frac {s}{s^{2}+t^{2}}},{\frac {t}{s^{2}+t^{2}}}\right)}\,$

   eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}\,$

   gegeben ist.

3. Definiere einen Homöomorphismus zwischen ${}Y$ und ${}X\times \mathbb {R}$.
4. Zeige, dass es keine polynomiale Abbildung ${}\psi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}p\circ \psi =\operatorname {Id} _{X}\,$

   gibt.

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