Affine Abbildung/Festlegungssatz/Aufgabe/Lösung

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Es seien und affine Räume, es sei eine affine Basis von und seien Punkte.

Dann gibt es genau eine affin-lineare Abbildung

mit für .

Es seien bzw. die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist eine Basis von . Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit

für alle . Jeder Punkt besitzt eine eindeutige Darstellung

Somit ist

eine wohldefinierte Abbildung von nach gegeben. Wegen

ist

(auch für ). Wegen

liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus

für den linearen Anteil

gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.