Affine Abbildung/Festlegungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}V$ bzw. ${}W$ die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist ${}{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{1}P_{n}}}$ eine Basis von ${}V$. Es gibt somit nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Jeder Punkt ${}P\in E$ besitzt eine eindeutige Darstellung

${}P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.$

Somit ist

${}\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

eine wohldefinierte Abbildung von ${}E$ nach ${}F$ gegeben. Wegen

${}P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,$

ist

${}\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,$

(auch für ${}P_{1}$). Wegen

${}{\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}$

liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für den linearen Anteil

${}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,$

gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.

Zur bewiesenen Aussage