Beweis
Es seien
bzw.
die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist
eine
Basis
von
. Es gibt somit
nach dem Festlegungssatz für lineare Abbildungen
eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f963d07215a3015bfb0c2ff0807944c91627689)
für alle
.
Jeder Punkt
besitzt eine eindeutige Darstellung
-
![{\displaystyle {}P=P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a107b2bc8e2fbf7788d64edb2ae17daa1d3e2b6e)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}\psi (P):=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}\varphi {\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec6096d473495e439b59fe38f355b69533db01)
eine wohldefinierte Abbildung von
nach
gegeben. Wegen
-
![{\displaystyle {}P_{i}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15eb93316090c701ac167ea86f5dd4647997d753)
ist
-
![{\displaystyle {}\psi {\left(P_{i}\right)}=Q_{1}+{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}=Q_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8523679bd2a1c57027ea683ff9e288ec305948fe)
(auch für
).
Wegen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi (P+v)&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=\psi {\left(P_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(b_{i}+c_{i}\right)}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=Q_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}+\sum _{i=2}^{n}c_{i}{\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\\&=\psi (P)+\varphi (v)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af304bea8e6ef9e42e46b5fbe9999f15d85bb22d)
liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus
-
![{\displaystyle {}\psi (P_{i})=Q_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47521bc9381c7d4686970bada84189cde73af00b)
für den linearen Anteil
-
![{\displaystyle {}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {P_{1}P_{i}}}\right)}={\overrightarrow {Q_{1}Q_{i}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9cf2a5d20802b53f99c85ad503fe03a9142968d)
gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist.