Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können durch Übergang zu einem Hauptnenner annehmen, dass die rationale Abbildung durch

$\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q}}\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q}}$

mit ${}P_{1},P_{2},Q\in K[T]$, ${}Q\neq 0$ gegeben ist. Es seien ${}H'_{1},H'_{2},H'_{3}\in K[T,S]$ die Homogenisierungen von diesen Polynomen mit der neuen Variablen ${}S$ und es sei ${}e$ der größte Grad dieser Polynome. Wir setzen ${}H_{i}=S^{e-\operatorname {grad} \,(H_{i}')}H'_{i}$. Die ${}H_{1},H_{2},H_{3}$ haben dann alle den Grad ${}e$ und ihre Dehomogenisierungen (${}S=1$) sind nach wie vor ${}P_{1},P_{2},Q$. Nach Fakt gibt es ein homogenes Polynom ${}F\in K[U,V,W]$, ${}F\neq 0$, vom Grad ${}d$ (bezüglich ${}U,V,W$) mit

${}F(H_{1},H_{2},H_{3})=0\,.$

Wir betrachten

${}{\frac {1}{W^{d}}}F(U,V,W)=F{\left({\frac {U}{W}},{\frac {V}{W}},{\frac {W}{W}}\right)}\,,$

welches ein Polynom in den beiden rationalen Funktionen ${}{\frac {U}{W}},{\frac {V}{W}}$ ist. Für diesen Übergang ist es wichtig, dass ${}F$ homogen ist. Einsetzen der homogenen Polynome in diese Gleichung ergibt

${}0=F{\left({\frac {H_{1}}{H_{3}}},{\frac {H_{2}}{H_{3}}},1\right)}\,.$

Dies ist eine Gleichheit im Quotientenkörper von ${}K[S,T]$. Wenn man darin ${}S=1$ setzt (also dehomogenisiert), so erhält man

${}0=F{\left({\frac {P_{1}}{Q}},{\frac {P_{2}}{Q}}\right)}\,,$

also eine Gleichung für die ursprünglichen rationalen Funktionen.

Zur bewiesenen Aussage