Affine Geraden/Punktiert/Verklebung/Projektive Gerade/Beispiel

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also ${}U={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[S]\right)}$ und ${}V={\mathbb {A} }_{K}^{1}=\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$ mit den offenen Teilmengen ${}U'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(S)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[S,S^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}V'={\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{(T)\}=\operatorname {Spek} {\left(K[T,T^{-1}]\right)}\subset {\mathbb {A} }_{K}^{1}$. Wir betrachten den Isomorphismus

$\varphi \colon U'\longrightarrow V',$

der durch ${}S\mapsto T^{-1}$ festgelegt ist und wir wollen ${}U$ und ${}V$ im Sinne von Fakt miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde ${}X={\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist ein Modell für die projektive Gerade über ${}K$. Die beiden durch ${}(S)$ bzw. ${}(T)$ gegebenen Punkte auf ${}X$ nennen wir ${}P$ bzw. ${}Q$. Wenn bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}K={\mathbb {C} }$ (mit der metrischen Topologie) eine Folge in ${}U'$ gegen ${}P\in U$ konvergiert, so divergiert sie in ${}V$ bestimmt gegen unendlich.

Es liegt das kommutative Diagramm (von Restriktionshomomorphismen)

${\begin{matrix}\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[S]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[T]=K[S^{-1}]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U',{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}\right)}=K[S,S^{-1}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei wir die Identifizierung ${}S=T^{-1}$ vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt

${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=K\,,$

da nur die konstanten Funktionen sowohl in ${}K[S]$ als auch in ${}K[S^{-1}]$ sind (es wird der Durchschnitt im Funktionenkörper ${}K(S)$ genommen). Es ist ${}{\mathcal {O}}_{X,P}=K[S]_{(S)}$ und ${}{\mathcal {O}}_{X,Q}=K[S^{-1}]_{(S^{-1})}$.