Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das Polynom ${}F=H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})$ auf ${}V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei ${}Q\in V$. Bei ${}H_{1}(Q)=0$ oder ${}H_{2}(Q)=0$ ist ${}F(Q)=0$, sei also ${}H_{1}(Q),H_{2}(Q)\neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist ${}Q\in D(H_{1})\cap D(H_{2})$, und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für ${}f$, nämlich

${}{\frac {G_{1}(Q)}{H_{1}(Q)}}=f(Q)={\frac {G_{2}(Q)}{H_{2}(Q)}}\,.$

Daraus folgt ${}G_{1}(Q)H_{2}(Q)=G_{2}(Q)H_{1}(Q)$ und somit ist die Differenz null. Insgesamt ist also ${}F$ die Nullfunktion auf ${}V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein ${}r$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.

Zur bewiesenen Aussage