Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer algebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das Polynom $F = H_{1} H_{2} (G_{1} H_{2} - G_{2} H_{1})$ auf $V$ und behaupten, dass dies die Nullfunktion induziert. Es sei $Q \in V$ . Bei $H_{1} (Q) = 0$ oder $H_{2} (Q) = 0$ ist $F (Q) = 0$ , sei also $H_{1} (Q), H_{2} (Q) \neq 0$ vorausgesetzt. Dann ist $Q \in D (H_{1}) \cap D (H_{2})$ , und dort gelten die beiden rationalen Darstellungen für $f$ , nämlich

\frac{G_{1} (Q)}{H_{1} (Q)} = f (Q) = \frac{G_{2} (Q)}{H_{2} (Q)} .

Daraus folgt $G_{1} (Q) H_{2} (Q) = G_{2} (Q) H_{1} (Q)$ und somit ist die Differenz null. Insgesamt ist also $F$ die Nullfunktion auf $V$ und daher gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ein $r$ mit $F^{r} \in 𝔞$ .

Zur bewiesenen Aussage