Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschwindungsideal vom Durchschnitt/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}{{\mathfrak {a}}_{1}}=\operatorname {Id} \,(V_{1})$ und ${}{{\mathfrak {a}}_{2}}=\operatorname {Id} \,(V_{2})$ . Die Aussage ergibt sich aus

{}\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})=\operatorname {Id} \,(V(\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}}))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}})\cap V({{\mathfrak {a}}_{2}}))\,,

wobei die erste Gleichung auf Fakt beruht.