Sei
kein Primideal. Bei
ist
, also ist
nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome
mit
, aber
. Dies bedeutet, dass es Punkte
mit
und
gibt. Wir betrachten die beiden Ideale
und
. Daher ist
-

nach
Fakt (3).
Wegen
und
sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist
-

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von
vorliegt und somit
nicht irreduzibel ist.
Sei nun
nicht irreduzibel. Bei
ist
kein Primideal. Sei also
mit der nicht-trivialen Zerlegung
. Sei
und
. Wegen
gibt es einen Punkt
,
.
Also gibt es auch ein
,
, und somit
. Ebenso gibt es
,
. Für einen beliebigen Punkt
ist
, da
auf
und
auf
verschwindet. Also ist
und daher ist
kein Primideal.