Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal. Bei ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ${}V=\emptyset$, also ist ${}V$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$, aber ${}F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Dies bedeutet, dass es Punkte ${}P,Q\in V$ mit ${}F(P)\neq 0$ und ${}G(Q)\neq 0$ gibt. Wir betrachten die beiden Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)$ und ${}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)$. Daher ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,$

nach Fakt  (3). Wegen ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,$

so dass eine nicht-triviale Zerlegung von ${}V$ vorliegt und somit ${}V$ nicht irreduzibel ist.
Sei nun ${}V$ nicht irreduzibel. Bei ${}V=\emptyset$ ist ${}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kein Primideal. Sei also ${}V\neq \emptyset$ mit der nicht-trivialen Zerlegung ${}V=Y\cup Z$. Sei ${}Y=V({\mathfrak {a}}_{1})$ und ${}Z=V({\mathfrak {a}}_{2})$. Wegen ${}Y\subset V$ gibt es einen Punkt ${}P\in V=V(\operatorname {Id} \,(V))$, ${}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})$. Also gibt es auch ein ${}F\in {\mathfrak {a}}_{1}$, ${}F(P)\neq 0$, und somit ${}F\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Ebenso gibt es ${}G\in {\mathfrak {a}}_{2}$, ${}G\not \in \operatorname {Id} \,(V)$. Für einen beliebigen Punkt ${}Q\in V=Y\cup Z$ ist ${}(FG)(Q)=0$, da ${}F$ auf ${}Y$ und ${}G$ auf ${}Z$ verschwindet. Also ist ${}FG\in \operatorname {Id} \,(V)$ und daher ist ${}\operatorname {Id} \,(V)$ kein Primideal.

Zur bewiesenen Aussage