Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $\phi :R\to S$ zwischen $K$-Algebren von endlichem Typ sei ${\phi }^{\ast }$ die zugehörige Spektrumsabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $P:R\to K$ ist die induzierte Spektrumsabbildung $P^{\ast }$ einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt  $\{\mathrm{id}\}=K-\mathrm{Spek}\left(K\right)$  den Punkt  $P\in K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$  zuordnet.
2. Der durch ein Element  $F\in R$  definierte Einsetzungshomomorphismus

   $\phi :K[T]⟶R,T⟼F,$

   induziert die Spektrumsabbildung

   ${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(R\right)⟶K-\mathrm{Spek}(K[T])={𝔸}_K^1,P⟼F(P).$

3. Zu einer surjektiven Abbildung $\phi :R\to S$ von $K$-Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung

   ${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶K-\mathrm{Spek}\left(R\right)$

   eine abgeschlossene Einbettung, und zwar ist das Bild gleich $V(\ker (\phi ))$.

4. Die zu einer surjektiven Abbildung $K[X_1,\dots ,X_n]\to S$ gehörende Spektrumsabbildung

   ${\phi }^{\ast }:K-\mathrm{Spek}\left(S\right)⟶K-\mathrm{Spek}(K[X_1,\dots ,X_n])\cong {𝔸}_K^n$

   stimmt mit der in Fakt definierten Abbildung überein.

5. Es seien  $F_i\in K[X_1,\dots ,X_n]$  für  $i=1,\dots ,m$  und es sei

   $\phi :K[Y_1,\dots ,Y_m]⟶K[X_1,\dots ,X_n],Y_i⟼F_i,$

   der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Dann stimmt die Spektrumsabbildung

   ${\phi }^{\ast }:{𝔸}_K^n=K-\mathrm{Spek}(K[X_1,\dots ,X_n])⟶{𝔸}_K^m=K-\mathrm{Spek}(K[Y_1,\dots ,Y_m])$

   (über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung

   $(x_1,\dots ,x_n)⟼(F_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,F_m(x_1,\dots ,x_n))$

   überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen