Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektren als Funktor/Verschiedene Homomorphismen/Fakt

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Es sei ein Körper und zu einem -Algebrahomomorphismus zwischen -Algebren von endlichem Typ sei die zugehörige Spektrumsabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem -Algebrahomomorphismus ist die induzierte Spektrumsabbildung einfach die Abbildung, die dem einzigen Punkt den Punkt zuordnet.
  2. Der durch ein Element definierte Einsetzungshomomorphismus

    induziert die Spektrumsabbildung

  3. Zu einer surjektiven Abbildung von -Algebren von endlichem Typ ist die zugehörige Spektrumsabbildung

    eine abgeschlossene Einbettung, und zwar ist das Bild gleich .

  4. Die zu einer surjektiven Abbildung gehörende Spektrumsabbildung

    stimmt mit der in Fakt definierten Abbildung überein.

  5. Es seien für und es sei

    der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Dann stimmt die Spektrumsabbildung

    (über die Identifizierung aus Fakt) mit der direkten polynomialen Abbildung

    überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen