Beweis
Wir betrachten die zum
-Algebrahomomorphismus
gehörende
Spektrumsabbildung
-
die nach
Fakt
stetig ist. Es ist
,
da ja in eine
Einheit
wird. Daher liegt das Bild von in .
Es sei irgendein Punkt, d.h. ist ein -Algebrahomomorphismus
mit . Dann ist eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme
(siehe
Aufgabe)
zu einem Homomorphismus von nach fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist als Abbildung nach surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei -Algebrahomomorphismen
-
gegeben, deren Verknüpfungen mit
-
übereinstimmen. Wegen
-
und ebenso für ist dann aber .
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von von
, ,
überdeckt werden. Dabei kann man annehmen, da eine Einheit in ist. Dann ist aber dieses gleich , wo letzteres die offene Menge in bezeichnet.