Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir betrachten die zum -Algebrahomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung

die nach Fakt stetig ist. Es ist , da ja in eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von in .
Sei irgendein Punkt, d.h. ist ein -Algebrahomomorphismus mit . Dann ist eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von nach fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei -Algebrahomomorphismen

gegeben, deren Verknüpfungen mit

übereinstimmen. Wegen

und ebenso für ist dann aber .
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von von , , überdeckt werden. Dabei kann man annehmen, da eine Einheit in ist. Dann ist aber dieses gleich , wo letzteres die offene Menge in bezeichnet.

Zur bewiesenen Aussage