(1) und (2) sind klar, da das konstante Polynom
überall und das konstante Polynom
nirgendwo verschwindet.
(3). Es sei
ein Punkt in der Vereinigung, sagen wir
. D.h.
für jedes Polynom
. Ein beliebiges Element aus dem Produktideal
hat die Gestalt
-
![{\displaystyle {}h=\sum _{j=1}^{m}r_{j}f_{1j}\cdot f_{2j}\cdots f_{kj}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6932e9484ba04f5a88cec19d72d09f0acc78ef)
mit
. Damit ist
, da stets
gilt, also gehört
zum rechten Nullstellengebilde. Gehört hingegen
nicht zu der Vereinigung links, so ist
für alle
. D.h. es gibt
mit
. Dann ist aber
und
, so dass
nicht zur Nullstellenmenge rechts gehören kann.
(4). Es sei
![{\displaystyle {}P\in \mathbb {A} _{K}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd07074a904f71db3218e05351d2dfb0adc8d28)
. Dann ist
![{\displaystyle {}P\in V({\mathfrak {a}}_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49a4160ee361703a8de1fcbea6ae69b0e42a5ee)
für alle
![{\displaystyle {}i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbb055112c7c009ef444adc093f11a0d9900ebc)
genau dann, wenn
![{\displaystyle {}f(P)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e658d01f967264b8601d0cca76d93c83850e3d0d)
ist für alle
![{\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb22121514057b3a7ef0e8cc3ce3623ba2a4f5c)
und für alle
![{\displaystyle {}i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbb055112c7c009ef444adc093f11a0d9900ebc)
. Dies ist genau dann der Fall, wenn
![{\displaystyle {}f(P)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e658d01f967264b8601d0cca76d93c83850e3d0d)
ist für alle
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
aus der Summe dieser Ideale.