Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Nullstellengebilde/Beziehung/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei  ${}P\in T$  ein Punkt. Dann verschwindet nach Definition jedes Polynom  ${}F\in \operatorname {Id} (T)$  auf ${}T$, also  ${}P\in V(\operatorname {Id} (T))$. 

(2). Es sei  ${}F\in I$.  Dann verschwindet ${}F$ auf ganz ${}V(I)$ und daher ist  ${}F\in \operatorname {Id} \,(V(I))$. 

(3). Nach (1), angewandt auf  ${}T=V(I)$,  haben wir die Inklusion „ ${}\subseteq$ “. Nach (2) ist  ${}I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$.  Wendet man darauf ${}V(-)$ an, so ergibt sich nach Fakt die andere Inklusion.

(4). Wie (3).

Zur bewiesenen Aussage