Wir betrachten die punktierte affine Ebene
-
über einem Körper und wollen mit Hilfe von
Fakt
verstehen. Der Funktionenkörper ist , wir bezeichnen die zugehörige konstante Garbe mit . Die lange exakte Kohomologiesequenz beginnt
-
Es ist
.
Wir betrachten Schnitte von der Form mit
.
Der Schnitt wird also auf durch die rationale Funktion und auf durch die rationale Funktion festgelegt. Da die Differenz, also einfach , zur Strukturgarbe auf dem Durchschnitt
gehört, liegt in der Tat ein Schnitt der Quotientengarbe vor, vergleiche
Fakt.
Wir bestimmen, abhängig von
und ,
ob dieser Schnitt im Bild liegt, was äquivalent zur Frage ist, ob dieser Schnitt ein triviales Element in der ersten Kohomologie definiert. Dass es von links herkommt bedeutet, dass es eine rationale Funktion
gibt, das mit dem Schnitt übereinstimmt, und das bedeutet wiederum, dass die Differenz auf
bzw.
von der Strukturgarbe herkommt, es muss also gleichzeitig
und
sein. Die zweite Bedingung bedeutet
-
und die erste Bedingung bedeutet
-
Es geht also um die Frage, ob die Gleichung
-
eine Lösung
(mit
und
besitzt).
Wenn
oder
ist, so ist dies möglich. Wenn hingegen
sind, so ist dies nicht möglich, da ja die rechte Seite gleich ist. Multiplikation mit zeigt die Unmöglichkeit, da das Ideal nur Monome enthält, die Vielfache der einzelnen Erzeuger sind.