Affine punktierte Ebene/Strukturgarbe/Erste Kohomologie/Beispiel

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Wir betrachten die punktierte affine Ebene

über einem Körper und wollen mit Hilfe von Fakt verstehen. Der Funktionenkörper ist , wir bezeichnen die zugehörige konstante Garbe mit . Die lange exakte Kohomologiesequenz beginnt

Es ist . Wir betrachten Schnitte von der Form mit . Der Schnitt wird also auf durch die rationale Funktion und auf durch die rationale Funktion festgelegt. Da die Differenz, also einfach , zur Strukturgarbe auf dem Durchschnitt gehört, liegt in der Tat ein Schnitt der Quotientengarbe vor, vergleiche Fakt. Wir bestimmen, abhängig von und , ob dieser Schnitt im Bild liegt, was äquivalent zur Frage ist, ob dieser Schnitt ein triviales Element in der ersten Kohomologie definiert. Dass es von links herkommt bedeutet, dass es eine rationale Funktion gibt, das mit dem Schnitt übereinstimmt, und das bedeutet wiederum, dass die Differenz auf bzw. von der Strukturgarbe herkommt, es muss also gleichzeitig und sein. Die zweite Bedingung bedeutet

und die erste Bedingung bedeutet

Es geht also um die Frage, ob die Gleichung

eine Lösung (mit und besitzt). Wenn oder ist, so ist dies möglich. Wenn hingegen sind, so ist dies nicht möglich, da ja die rechte Seite gleich ist. Multiplikation mit zeigt die Unmöglichkeit, da das Ideal nur Monome enthält, die Vielfache der einzelnen Erzeuger sind.